风险对冲的数学原理  

http://wenku.baidu.com/view/99d20a5577232f60ddcca1c5.html

先做个套利练习。假如你在10元价位买了一支股票，这个股票未来有可能涨到15元，也有可能跌到7元。你对于收益的期望倒不是太高，更主要的是希望如果股票下跌也不要亏掉30%那么多。你要怎么做才可以降低股票下跌时的风险？ 

一种可能的方案是：你在买入股票的同时买入这支股票的认沽期权——期权是一种在未来可以实施的权利（而非义务），例如这里的认沽期权 可能是“在一个月后以9元价格出售该股票”的权利；如果到一个月以后股价低于9元，你仍然可以用9元的价格出售，期权的发行者必须照单全收；当然如果股价 高于9元，你就不会行使这个权利（到市场上卖个更高的价格岂不更好）。由于给了你这种可选择的权利，期权的发行者会向你收取一定的费用，这就是期权费。  原本你的股票可能给你带来50%的收益或者30%的损失。当你同时买入执行价为9元的认沽期权以后，损益情况就发生了变化：可能的收益变成了（15元－期权费）／10元   

而可能的损失则变成了（10元－9元＋期权费）／10元   潜在的收益和损失都变小了。通过买入认沽期权，你付出了一部分潜在收益，换来了对风险的规避。这就叫风险对冲。  

不难看出，如果加以精心安排，你可以用股票和期权构造这样一个投资组合：不论股价朝向哪个方向变化，投资组合在期末的价值必定相等。黑话这个就叫套期保值。由于套期保值组合的存在，期权的定价只由股票的期初价格、期末价格、期权时限、执行价和无风险利率——例如国债利率——这几个因素决定，与股票涨跌的概率无关。Black-Scholes模型等期权定价公式也表明了这一事实。 

另一种常见的风险对冲则是外汇的套期保值。比如说以人民币为会计本币的企业和外国公司做生意，不得不接受一笔为期三个月的美元应收帐款，老板就心里 发毛：人民币升值多猛啊，三个月以后没准美元又大跌了，害我平白无故少收5%我找谁哭去？这时候他就可以同时买入美元的看跌期权（也就是认沽期权），把原 本5%的外汇风险变成只有1%，甚至多付一些期权费从而完全规避掉外汇风险。

风险管理中的普遍原理：风险聚集和对冲

 卫薇子603 2011-11-23 09:34:09

 Robert Shiller教授

今天这堂课的主题是，风险管理的普遍原则；风险汇聚和风险对冲。今天我要教授的知识，我认为是金融理论中最基本、最核心的概念。我想先说说这个，就是概率论，以及通过风险汇聚来分摊风险。这一极具智慧的概念，诞生于某一特定历史时期，并且应用广泛，金融是其一。对于部分人来说，这堂课相对于我其他的课程，是较为专业的，而且不巧的是，这门课在学期伊始就开始了。对于已经学过概率和统计的同学来说，这堂课就没什么新鲜的了。当然，那是从数学角度来说的。但概率论是个新知识，其他的，我想告诉你们不必...如果你还在挑选课程。昨天有个学生来问我，他该不该选这门课，他的数学有点荒废了。我说，如果你能听懂明天的课，也就是今天这课，那你不会有问题的。

我想从概率的概念开始讲起。你们知道什么是概率吗？我们举个实例吧，好吗？今年股票市场会走高的概率是多少？我会说，我个人猜想的概率是0.45，那是因为我对股市持悲观态度。但，你们知道那是什么意思吗?就是股票市场会走高的可能性是45%，剩下的55%，市场会走平或者走低，那就是概率。现在你们觉得这个概念似曾相识了吧？如果有人提到概率是0.55或者0.45，你就知道他说的是什么意思了。我想说，概率的表述并非一贯如此。这个概念成型于十七世纪。那时概率被第一次提出。

伊恩·哈金为概率论追根溯源。他查遍世界所有关于概率的文献，发现无法追溯到十七世纪以前。也就是说，十七世纪中诞生了一次智慧的飞跃，用概率来表述成了件很时髦的事。引用概率的这种表述方式很快传遍世界。但很有意思的是，如此简单的方式，此前从未被使用过。哈金指出概率这个词，或者说可能已经存在于英语中。事实上，莎士比亚用过。但你知道它代表什么吗？他举了一个年轻小姐的例子。一位小姐描述她喜欢的男子，她说道，我太喜欢他了，我觉得他有很大可能。你们觉得她是什么意思？有人能回答吗？有擅长近代英语的同学能回答我吗？什么是一个"很可能"的年轻男子？我在征求回答，好像没人知道。有人敢猜一下吗？没人想试试吗？

学生：是不是说他生殖能力旺盛？

Robert Shiller教授：你是说他"精"力旺盛吗？我想她不是那个意思，但也有可能。不是的。她的意思显然是"值得信赖"，我想那是为人的重要品质。

所以，如果有什么是很可能的，说的是你可以信赖它。也就是说，这里的可能性等于可信赖度。所以，你可以清楚地了解到，概率是如何由那个定义转变为今天的定义的。但这位优秀的历史学家伊恩·哈金认为，一定有人在更早时候就用过概率这个概念，即便他们没有用数字来表述，但他们一定有过类似的想法。他遍览全球文献，试图寻找这个词在十七世纪前的使用证据。并且总结说，很可能有许多人有过相同的想法，但没有公开阐述过，并且从未成文发表过。他说，部分原因是，纵观人类历史，赌博曾风靡一时。而概率论对于一个赌徒来说，是大有裨益的。哈金相信历史上有很多赌博理论家，曾多次构想了概率论，但从来没有记录下来，并且恐为人知。

他举了一本书，或者说是本作品集上的例子，有谁知道这本作品集吗？这是本用梵文编著的史诗作品集，可以追溯到...事实上这本作品的创作时间历时近千年，最终完稿于公元四世纪。有那么一个故事：在摩诃婆罗多一书中有篇长故事，有关一个名叫那勒的国王。他有个妻子叫妲玛言狄，他是个非常纯洁善良的人。有个名叫迦梨的恶魔很讨厌那勒，并且想使他一蹶不振，所以他必须要找到那勒的弱点，他最终得逞。尽管那勒是那么地纯洁和完美，迦梨还是找到了一个弱点，那就是赌博。那勒无法抵挡赌博的魅力，所以恶魔就诱使他痴迷赌博。你们知道，有时你输了，就会把赌注加倍，并且总想把失去的都赢回来。在赌性的驱使下，那勒最终押上了他的整个王国，并输了赌局。这是个很可怕的故事。那勒不得不离开王国和他的妻子，他们被流放数年，而他又在流亡中与妻子走散。

他们在森林里流浪，那勒陷入绝望，他失去了一切。但后来他遇到一个名叫...我们说到过谁？他遇到的这个人叫睿都巴若那，这就到了讲概率论的时候了。睿都巴若那对那勒说，他了解赌博术，并且会传授给那勒，但只能是口耳相传，因为这是一个秘密。那勒心存怀疑，睿都巴若那怎么会知道如何赌博？所以睿都巴若那就试图证明自己的能力。他说，看那边的树。我只需数一根枝杈上的叶子，就能估算出树上叶子的总数。睿都巴若那查看了一根树枝，然后估算了一个总数。但是那勒仍然心存怀疑，他彻夜未眠，数了树上的每一片叶子，发现结果和睿都巴若那所言相差无几。所以他在第二天早晨相信了睿都巴若那。哈金说，这很有趣，抽样理论是那勒所学知识的一部分。你不必数树上所有的叶子，你可以抽样，然后计数，再相乘即可。

不管怎样，在故事结尾，那勒回去了。我们知道他已经掌握了概率论的知识，他回到祖国并且再次求赌。但除了妻子，他别无赌资，所以他以她作赌注。不过要记住，现在他知道自己在做什么，所以他并不是真的要拿妻子来冒险，他真的是个很纯洁并且值得尊敬的人。于是他赢回了整个王国，故事就此结束。

不管怎样，这个故事表明，概率论确实有很悠久的历史，但那时它并非以学科形式存在，也没有对金融理论的产生有过指导意义。若没有理论基础支撑，你就无法做到思维缜密。所以直到十七世纪，概率论才被记录下来，形成理论，并且在那个世纪里诞生了金融和保险的雏形。

例如在十七世纪时，人们开始制作寿命表。什么是寿命表？这个图表反映了两性在不同年龄段中死亡的概率。如果你想从事人寿保险，你必须对它有所了解。他们开始收集死亡率的数据，并且发展出精算学，用来估算人在各年龄段死亡的概率，那便是保险诞生的基础。事实上，从某种意义来说，保险业可以追溯到古罗马。在古罗马时期，有种东西叫丧葬险。你可以买份保单，能使你避免因家庭贫困而无钱供你死后下葬。在古文明时期，人们很重视死后能否安然入葬，所以那是个很有意思的想法。人们在古罗马时期销售丧葬险。你可能会想，为什么只有丧葬险？为什么不发展成全面的人寿险呢？你可能有些疑惑，我想可能是因为，当时的人们并没有理论体系的支撑。在文艺复兴时期的意大利，人们开始编写保单，我看过其中一份，刊登在《风险和保险杂志》上。他们翻译了一份文艺复兴时期的保单，但是很难理解那份保单到底想说什么。我猜当时并没有专业的词汇，他们未能...他们有想法，却无法表述。所以我认为那只是保险业的雏形。我认为是概率论的诞生，真正促生了保险业，那也是为什么我认为理论对于金融来说非常重要。

有些人将火险的历史追溯到1666年的伦敦火灾。大火几乎烧毁了整座城市。紧随着那场伦敦大火，火险订单的数量激增。但是你也许会疑惑，对于阐述火险来说，这是不是个好例子。因为如果整个城市被烧毁，那么保险公司就会破产，对吧？伦敦的保险公司之所以开展火险，是因为整个保险理念，就是将独立事件发生的风险汇聚起来。不过，那只是个开始。

不管怎么说，我们得承认保险起步缓慢，因为...我相信是因为...人们无法理解概率的概念。他们脑海里没有这个概念，这有多方面的原因。为了理解概率，你要把事件想象成是随机发生的。但人们没有那样清晰直观的认识，他们也许觉得，我可以通过意愿，或者许愿来影响事件的发展；也许...我说不定有神力相助，如此概率这个概念就有些模棱两可了。即便如今，人们似乎仍然无法理解概率。从直觉上来说，他们并不真的认为概率是客观的。比如说，如果你问人们，他们愿意出多少钱去赌掷硬币？如果他们可以掷硬币，或在硬币还没被掷出前，他们会下更大的注。但也许硬币已经被掷出，且藏了起来。为什么会那样呢？这可能是因为人们有种直觉，觉得我能...也许是...我有种魔力，我能改变事物。

而概率论的观点是，不，你无法改变事物。世间万物遵循客观的概率，它们即是定律。世上的大多数语言对运气和风险，或者说运气和机遇，都有另一种表达方式。运气像是可以用来描述一个人；好比我是个幸运的人，我不知道那是什么意思...是说上帝或者众神眷顾我，所以我很幸运；或者说这是我的幸运日。概率论实在与此无关，于是我们有了一门精确严谨的学科作为工具。

现在，我要讨论一些概率论上的术语。对你们一些人来说，这是个回顾，但这是我们之后课上一直要用的知识，所以我会用字母P，或者Prob来表示概率。概率一定是一个在0和1之间的数字，或者说0%和100%之间。Percent在拉丁语里就是除以100的意思，所以100 Percent就等于1。如果概率等于0，就意味着事件不会发生；如果概率等于1，就意味着一定会发生。如果概率是...大家都能看清黑板吗？不知道这黑板能不能移一下？看来能移，现在看得见了吗？你的位置最不好了，但你也能看见吧？这是概率论中最基本的概念。

概率论中最基本的一个原则，就是独立性的概念。概率是用来描述某一结果发生的可能性。比方说某一试验的结果，比如抛硬币。如果你抛一枚硬币，正面向上的概率一定是50%，因为正反哪一面向上的可能性是相同的。独立试验的概念就意味着，每一个试验和其他试验的结果没有关系。如果你抛两次硬币，第一次的结果并不影响第二次的结果，所以我们说他们是相互独立的。这两次试验没有关系。

概率论的最基本的原则，有一条叫乘法原理。意思是，几个相互独立的事件，其中两个事件同时发生的概率，等于他们分别发生的概率的乘积。用 Prob(A and B)= Prob(A)*Prob(B)表示。如果A和B不独立，这个式子就不成立。保险理论就是，在理想状态下，保险公司为独立事件承保。理想状态下，人寿保险，或者是火灾险，承保的对象都是独立事件。伦敦大火的例子不在讨论范围。有时候会出现这种问题；一个人把自己家里的油灯弄翻了，然后把自己的房子点着了。由于火灾是独立事件，他的房子着火了并不会烧毁别人的房子。在这样的假设下，整个城市都被烧掉的概率是非常非常小的。简单的说，A和B和C同时发生的概率，等于A发生的概率，乘以B发生的概率，乘以C发生的概率，以此类推。如果一栋房子着火的概率是千分之一，然后假设有1000栋房子，那么，这一千栋房子全都着火被烧掉的概率，就等于千分之一的一千次方，基本上就是0了。所以如果保险公司卖了很多保单出去，他们基本上就没有什么风险了。刚才讲的就是最基本的概念，可能看起来比较简单明显。但这些概念刚出现时，并不被广泛理解。

顺便说一句，我们有一套习题，我希望你们从今天就开始做。不要求下个礼拜交，因为马丁·路德·金日要放假。等放完假后的礼拜一交。

如果继续往下看，在概率论里有一个基本的概念，叫做二项分布。我不想在二项分布上花太多时间。二项分布给出了在N次试验中成功X次的概率。在刚才保险的例子中，如果你为某一事件保险，在N次试验中发生X次意外的概率就服从二项分布。二项分布，通过X的函数给出概率，公式是P^X (1-P)^N-X [n!/(n-x)!]。P代表某一事件发生的概率。这就是当保险公司需要评估一系列的独立事件中，一定数量的独立事件发生的可能性时，使用的公式。保险公司都会担心太多事故同时发生，这样的话保险公司可能就会赔个精光。保险公司一般都有准备金，准备金的数量一般保持在刚刚够赔偿一定数量的保单。保险公司就可以用二项分布公式，来计算特定数目事故发生的概率。二项分布的介绍到此为止，我不准备拓展这一部分，毕竟这节课不是概率论。但我希望你们能记住这个公式，并且学会应用。有没有不清楚的地方？你们能看见我写的字吗？

概率论中另外一个常用的重要的概念是期望值，或者也叫均值，这两个概念可以互换。我们可以用期望值，或者是平均值。[译注:两个词均翻译成平均值]。我们有几种不同的方式去定义这个概念，取决于我们指的是样本均值，还是总体均值。最基本的定义，某一个随机变量X的期望值是E(x)。我应该提到过，随机变量是一个可以取值的数。如果你有一个试验，这个试验的结果是一个数，那么相对应的随机变量，指的就是这个试验结果所对应的那个数。比方说抛硬币的试验。我将正面向上的结果对应数字1，反面向上的结果对应数字0，这样我就定义了一个随机变量。就像刚定义的，是一个离散型随机变量。随机变量还可以有无限种取值，也就是连续型随机变量。随机变量可以取某一区间的一切值，比方说做这样一个试验；将两种化学试剂混合，然后测定反应温度。顺便说一下，温度计也是十七世纪的发明，那时候的人才刚刚开始理解温度的概念。虽然对我们来说这是个很自然的概念，但在十七世纪确实是个新玩意。扯远了。但温度是连续的，对吧？把两种试剂混合的时候，温度可以取任何值，对温度的取值有无数种可能。也就是说，是连续的。

对于离散的随机变量，可以这样定义期望值。这是希腊字母μ，对每个变量的值Xi和对应概率的乘积求和。[P(x=xi) times (xi)]，对于这个随机变量X，可能的取值个数是无限的。在抛硬币的例子里只有两个取值，但是一般都会有无限个可能值。但随机变量是离散的话，我们可以把所有的可能值列出来，然后算出加权平均值，这个加权平均值就是期望值，也可以叫做平均值。但注意，这个公式是基于概率论的，这些数值是概率。使用这些公式之前，必须知道真实的概率值是多少。对与连续分布的随机变量，还有另外一个适用的公式，两个公式的思想是一样的，都可以用μx表示。不过这是一个积分，积分下限是负无穷，上限是正无穷，然后对F(x)*x*dx积分。其实这两个式子是一样的，因为积分也就是另一种形式的求和。

这是两种对总体的定义。F(x)是x的连续型随机变量的概率分布。和离散型随机变量的分布不同的是，连续型随机变量的分布中，某一点的概率值始终是零。温度恰好是整100摄氏度的概率是零，因为还可以是100.0001等等无数个值，所以有无限种可能性。所以我们用概率密度的概念，来描述连续型随机变量的情况。对于本门课程来说，你不必对刚才讲的概率的知识有很深入的了解，我只想介绍一些概率论的基本概念。这些是用来度量总体的变量，因为他们对应的是总体中所有的结果，度量的是所有事件的概率。这些是真实的值，但同时也有样本均值。如果你像数叶子的睿都巴若那一样，只有部分样本的话，你可以来估计总体均值。总体均值一般写作X拔，如果你有n个观测值，对Xi从i=1到n求和再除以n，能看懂这个公式吧？你数了n片叶子，不对，一共有n根树枝，你数了叶子的数量，然后把他们加起来。这个1是指…我好像把这个式子和睿都巴若那的故事弄混了，但你们应该懂我的意思，应该明白均值的概念。均值是最基本的概念，你可以用这个公式来估算离散的、或者是连续变量的期望值。

在金融里我们经常提到另外一种均值，在杰里米·西格尔的书里多次提及，这种均值叫做几何平均。我这里只讲样本的表达式，G(x)等于所有Xi的乘积的1/n次方，大家都能看见吗？可能有些同学看不太清楚。我把所有的乘在一起，然后开n次方，而不是把他们加总再除以个数，这种平均叫几何平均，只能用于正的数值，如果中间有负数就会有问题。如果这当中有一个负数，乘积就会变成负的，如果你对一个负数开根号，你就会得到一个虚数，而我们并不想要得到虚数。

刚才讲的是杰里米·西格尔书上的附录，他认为这个理论最重要的应用，就是衡量一个投资者的收益。假设有一个人投资，怎么来评价他做的怎么样？你可能会想，他把钱投资在不止一年的期间里，那就把每年的收益率求一个平均数吧！假设有人投资了n年，Xi是第i年的收益率，平均数代表的是什么？很自然的想法是对收益率求平均值，但是杰里米觉得这不是一个好办法。他认为应该对每年的收益求几何平均，投资的收益是指，你在整个投资中赚的钱占本金的百分比，总收益率就是收益率加上1。在投资上，最糟糕的情况就是把本金也全亏完，也就是亏100%，然后加上1，你永远也得不到一个负数，然后我们对这个值求几何平均。

杰里米·西格尔认为，在金融上应该用几何平均，而不是算术平均。为什么呢？举个简单的例子，假设一个人帮你投资，而且他声称，我投资回报很高，我过去的十年中有九年的收益都是20%，你觉得很不错，但最后一年怎么样呢？这个人说，哦，我亏了100%。你可能说，那还行，把9个20%加起来，然后加一个0，前面说错了… 把9个120%加起来，然后加上最后一年的0%，看起来还不错是吧？但想一下，如果你去投资，收益和这个人一样，你最后能得到什么？你最后一分钱都不剩。如果你最后一年全亏完了，不管之前收益多高，最后分文不剩。杰里米在书里说几何平均总是比算术平均小，当然，如果所有数字都一样，两个均值相等。几何平均相比算术平均更加严谨，所以我们应该用这个指标。但金融界反感使用几何平均，因为它比其他平均数都来得小。他们为自己的收益率做广告时，当然希望数字越大越好。

我们也需要其他的指标。目前为止，我们只讨论了集中趋势指标，在金融学中，我们同样需要离散趋势指标，以衡量参数的变化程度。集中趋势用以描述一组概率分布的中心集中趋势，而方差衡量的是各个观察值之间的变化。方差这个指标，我们通常写作σ2，这是希腊字母西格玛的小写平方。又或者，在讨论方差估计的时候，我们常用S2，称为标准差的平方。标准差是方差的平方根，总体方差是指一系列随机变量x的方差，我们是这样定义的，x=xi的概率乘以xi-μ的平方，在i取1到无穷大时的累加，μ带下标x。我们刚定义了，μ下标x表示x的期望值，或者写成E(x)，这是偏离均值平方数的概率加权平均。如果距离均值的变动很大，那么这个平方数也会很大。参数的变动越多，方差就越大。

还有另一个离散指标，我们用以考察样本，有时用Var表示，我们用∑2，这是另一个离散指标，用于考察样本。当有n个观察值，这就是在i取1到n时，x减去x均值的平方除以n的累加，这就是样本方差。另一种用法里，分母是n-1，我觉得两个都可以接受。这里想说的简单一点，当除以n-1表示的是对总体的无偏估计。我在这里只是说的简单一点。你会看到，这个指标衡量的是x与平均值的偏离，而且这里有个平方，使偏离的权重更大。一个数的平方是一个更大的数，这就是方差。

这样我们就介绍完了集中趋势和离散趋势。接下来我们讨论它们在金融学中的应用。从收益的角度来说，一般我们都渴望高收益。我们希望收益的期望值较高，并且稳定，期望值越高越好。方差就相反，因为方差代表着风险，也就是不确定性。整个金融理论的中心，就是如何获得高收益，同时降低风险。

另一个基本的概念是协方差。协方差衡量的是两个变量一起变动的情况。协方差是，我们有两个随机变量，x和y的协方差是，从样本的角度来说，在i取1到n时，x减去x均值乘以y减去y均值，再除以n的累加。这个是X的偏离度，这里有下标i，表示每一次观察值对应着某个Xi和Yi。这里说的是由试验产生的，每一次试验可以获得一组x与y的观察值。当x值大的时候，y值可能也大，或者相反。如果x和y同向变动，当x值和y值同时都很大，协方差的结果将会是一个正值。如果x取值小，同时y值也小，这将是一个负值，这个也是负值，负负得正，结果是正值。一个正值的协方差表示两个变量同向变动，负值的协方差就表示二者反向变动。如果x比x均值要大，这个为正。而y比y均值小，这个为负，这样乘积就是负数。很多个负值的结果相加，就会使协方差是一个负值。

接下来我们讲相关性。这个指标是相关系数，我们习惯用希腊字母rho表示。如果你使用Excel，会用correl表示。有时我也用corr。这表示的是相关性，这个数的取值在-1到+1之间，定义为，rho等于xy的协方差比xy各自的标准差的乘积，这就是相关系数。这个概念已经进入了日常语言。你们也能看到，有时它会被报纸所引用，我不清楚你们是否熟悉。你们会在什么情况下见到相关性呢？媒体会说，SAT成绩和大学里的平均学分相关性很低，或相关性很高。有人明白这是什么意思吗？你可以估计一下。相关系数很可能是个正值，结果很可能是接近0的正数，但肯定有些相关性的。比如说0.3，这意味着SAT的高分考生，更有可能拿到高的绩点。如果这是个负值...这不太可能...这可能是负值，否则就是说拿到SAT高分的人，在大学里会表现的比较差。如果你可以量化二者有多相关，那你就可以考察相关性了。

下一个部分是回归，这是统计学中又一个基本概念，在金融学中广泛使用。那我就举一个金融领域的例子。回归这个概念要追溯到数学家高斯，讨论的是从若干散点中切合出一条直线。我们来画一条切合散点的直线。我把这个轴作为股票市场的收益，这个轴作为某个公司的收益，比如说微软，将每一年的数据作为一个观察值。我不应该用这个公司名，因为我没法重现它的数据。不用微软了，就用希勒公司吧！这是个虚构的公司，所以我可以随意作假设。这里做零点，注意这不是总收益，而是年度收益，有可能是负数的。假设某一年...这里设为-5，这里+5，这是-5，这是+5。我们假设第一年中，希勒公司和市场都获利5%，在(5,5)这个位置点一个点。另一年，股票市场下跌了5%，希勒公司下跌了7%，在这里，(-5,-7)又有一点。假设这里是1979年，这里是1980年，一直添加数据点，就形成了一个散点图。斜率应该是正的，对吧？很有可能当股票市场的总体表现好，希勒公司的表现也一样好。

高斯说，做这样的一条直线，切合所有散点，这就是回归直线。高斯选的这条线，所有点距离这条直线的平方和，是所有直线中最小的。这些线段的长度就是距离。要找到最切合的直线，就是要使这些距离的平方和最小。这就是回归直线。这个是截点，用alpha表示...这里是alpha。斜率用beta表示。这个概念你们应该很熟悉了。在金融学中，这是个很重要的概念。希勒公司的beta值，就是这条直线的斜率，alpha是截距。我们也可以它来表示超额收益。迟一些我会讲到，就是用这个轴表示收益减去利率，这个轴表示市场收益率减去利率，这样的话，alpha就用以衡量，希勒公司表现超过市场平均水平多少。回到原先的话题。beta用以衡量本公司跟随市场变化的程度，alpha衡量超过市场的表现。让我们回到这些基本的概念来。

另一个概念...刚才这些我都讲明白了吧？有一个分布叫正态分布，大家有所耳闻吧？大概是这样的一个分布，钟形的。这里是x，我要画的对称一点，可能我画不好。这里是f(x)，这就是正态分布。公式如下：f(x) =[1/(√ (2π)σ)] × e ^－[(x-μ)2 / 2σ]。这是个很著名的公式，还是来自高斯。金融学中我们常假设随机变量，例如收益率，是服从正态分布的。这就是正态分布，也叫做高斯分布。这是一个连续分布，你们都学过了，是吧？这是高中课程涉及到的。但我想强调的是，还存在别的钟形曲线。正态分布是最著名的钟形曲线，但仍有其他表达式下的钟形曲线。

金融学就很关注长尾分布。这是一个随机分布，这里没有彩色粉笔，我就用虚线来表示长尾分布。就像这样。另一边，我也尽量画的对称，这里是这个分布的尾部。这是右尾，这是左尾。你们可以看到，虚线画的这个分布，尾部要长很多，所以我们叫它长尾分布。这就表示服从长尾分布的随机变量。这些数据出现极端值的概率比较大，很有可能在长尾分布的这里。在金融界中，这是一种重要的观测方法。许多投机性资产的收益，都是服从长尾分布的。这就是说，你在华尔街混了二十年，所有观察值都集中在中心区域，然后你觉得对市场行为了解的差不多了。但是突如其来，有些东西在这里出现了。如果你长期持有这份投资，你就走运了。回报如此之高，你自己都没有料到，可能你也从来没有见过这种情况。但你也有可能获得糟糕得难以置信的回报。这困扰着金融界。你无法预料，即使你的经验再丰富，你也无法弄清这种难以预测的情况，这是金融界的一大难题。

我的朋友纳西姆·塔利博刚刚写了一本书，叫做《黑天鹅现象》，以后我会再讲到。书中提到金融界中突然出现的小概率事件，怎样搞砸了无数计划，他称之为黑天鹅现象。因为我们看到的天鹅总是白色的，你从没见过黑色的天鹅，于是你从生活中得出结论，黑色的天鹅是不存在的。但事实上它们是存在的，而且你看到了一只。你不会将赌注押在不可能存在的东西上。华尔街的专家塔利博用金融界的真实案例讨论黑天鹅现象。

好的，讲到这里我将离开统计学，讨论一下现值。这是金融学中的另一个基本概念，这也是今天这节课最后的内容。现值是什么？这不再是统计学概念了。我以这个概念作为这堂课的结尾。生意人常常持有未来的钱，而不是今天的钱。举个例子，有人对我承诺，在一年、或者两年、或者三年内支付我一美元，现值就是指它在今天的价值。也许我握有一份欠条，或是一份合约，某人承诺，在一年或者两年内支付我一些钱。由于资金有时间价值，他说他承诺支付一美元，但在此时此刻它并不值一美元，它一定少于一美元。在数百年前你们能做的，在今天还是能够做到的，就是到银行出示这份合约或欠条，问你们根据它能给我多少钱。银行会为你计算贴现，有时候我们称之为现期贴现值。银行就会告诉你，既然从现在起的一年中，你能拿到一美元，但那是一年以后，因此现在我不会给你一美元，我会给你个现期贴现价值。

现在，我会将风险抽象化。我们假设这份承诺会被兑现，这只是时间的问题。当然，银行不会因为某些东西在一年内收益一美元，而给你一美元。因为银行知道一美元能在利率的基础上用来投资。我们假设利率是r，假设利率就是0.05，就是说5%，也就是百分之五。一美元的现值...一美元的现期贴现值，或者现值就等于1/(1+r)。那是因为银行认为，如果我现在持有这些钱，并将其投资一年，然后我会得到什么？我得到(1 + r)*(1/1+r)，就是一美元。因此公式完全准确。你必须把未来一段时间内的资金，通过除以1+r来贴现，这就是一美元在一段时期内的现值。我只是将一美元持有一年，但这个时间段并不一定是一年，不同时间段有不同的利率，因此我必须在不同的时间段，细化不同的利率，一般来说是一年。如果是一年期利率，那时间长度就是一年。那么一美元在一年期内的现值，就能这样算出。一美元在n段时期内的现值就是，1除以(1+r)的n次方，这样就能算出来了。

我想讲讲现金流量估值。假设某人有一份合约，承诺在数年内的不同时段内分开支付。我们有几个公式来计算现值。这些公式相当有名，我会很快带过。其中最简单的东西叫做公债或叫永续年金。永续年金是一种财产或者合同，规定在每一时间段内，支付一定数量的货币，直至永远。我们称之为公债，是因为早在十八世纪初，英国政府规定，他们称之为英国皇家统合公债，或者联合公债，要求永久性地，每六个月支付一定数量的英镑。你会说，英国政府鲁莽地承诺永远支付利息，他们不会毁约吗？就你们所知道的来说，永不毁约是最棒的，对吧？或许有人会说，英国，大英帝国总会有突发事件发生。政权会发生改变，但至少现阶段不会改变，我们可以忽视它，因此我们就认为它是永久存在的了。无论如何，也许政府会重新将公债买回来，谁在乎它到底是不是永久的呢？我们就认为它是永久的好了。

假设公债规定，永远于每时间段支付一英镑，那么它的现值又是多少呢？首先，每一次支付的数额称为一个券息，从现在开始每一年都要支付一英镑，为了简化我们就说成一年了吧！从现在起的第二年，需要支付第二个一英镑；从现在开始的第三年，需要支付第三个一英镑；则现值就等于，记住它从现在开始起一年一年的支付，只是个假设。我们能做不同的假设，但现在我就假设成一年。第一年的现值就等于1除以(1+r)，加上第二年的1除以(1+r)的平方，以及第三年的1除以(1+r)的三次方，然后无尽地继续下去。这是个无穷数列，你们应该知道怎么计算。也就是1/r推广开来，如果在每段时期内支付c美元，那么它的现值就是c/r，它就是永续公债里现值的计算公式。它是金融领域中最基本的公式。有趣的是，它意味着，债务的价值向着利率的相反方向变化。英国政府在十八世纪初就推出了这份债券，当他们在十九世纪再融资的时候，公债仍然有售。如果你想去买一份的话，你可以在这堂课后用笔记本电脑买一份公债。这份公债能确保你永久收到利息，但是你们必须明白的是，它的价值是与市场利率相反的。因此如果利率上扬，它的价值就下跌；如果利率上扬，这份投资的价值就会走低。

另外一个公式则是，如果债务并不偿还会如何？不好意思，接下来要讲的是上涨债券。即使英国债券并不升值，我还是要称之为上涨债务。我们假设英国政府并没有说，他们会每一年支付一英镑，但它会是第一年支付一英镑，然后它会顺着利率g上涨，最后它就变成了无尽大的数目。你们在第一年得到一英镑，然后在第二年得到了1+g英镑等等，第三年得到(1+g)的平方，以此类推。它的现值就是...假设它需要支付，我们假设它每年支付c英镑，然后这里也乘以c，在第三年它就是c倍的(1+g)的三次方，现值就相当于c/(r-g)。这就是上涨债务价值的公式，g必须小于r才行得通。因为如果g比利率涨的还快，那么这个无穷序列就不会收敛，价值就是无穷了。你们也许会问，那怎么行得通呢？如果英国政府承诺，每年都支付高于10%的利息，会怎么样呢？市场该如何定位它？公式不能给出具体的数字，我来告诉你们为什么。英国政府永远都不会承诺，每年支付你们高于10%的利息，因为他们根本就做不到，而且市场也不会相信他们。因为它不可能比利率上涨得还快，这是最基础的知识。这是不可能的。

我认为还有一个与之有关的问题，就是还有一个年金公式，这个公式应用于...如果一份资产在每段时期都给与支付，然后突然停止了怎么办？它就叫做年金。年金在第t个期间内支付c美元，t等于1、2、3，然后在最后一期间后停止。关于年金的一个很好的例子，就是房屋抵押。当你买了一座房子，你贷了些款，然后你在一定的时间内偿还一部分。一般来说都是按月来算的，但是假设我们是按年支付的。你每年都在你的房子上支付一定数目的偿款给抵押商，然后数年后，设n是30年，一般来说你已经能偿清贷款了。曾有一段时间，抵押贷款中有期末大额偿还制度，这表示你在最后必须支付额外的款项。但他们觉得人们对偿还额外款项会有困难，最好就是支付了规定的数额就好。不然，如果你向他们在最后索要更多的还款，很多人都不会有那么多钱。于是出现了年金抵押贷款。那么年金的现值又是什么呢？那就是，年金的现值等于，公式如下：c*(1 – [1/(1+r)]^n)/r，那就是年金的现值。

我还想提一点，因为我意识到...你们的练习题中会涉及到这个。概率论在经济学中的应用的问题，预期效用理论，然后我以这个做总结。在经济学中，假设了效用这一概念，它表示了人们对于结果的满意程度。我们通常用U表示。如果我得到了一些收益，我就有了一定数量的货币，x美元。我对于x美元的满意程度设为U(x)，我认为你们已经从其它的经济学课程中学过了，称为边际收益递减。这种观点是对于任何数量的货币，假设我得到x数量的货币，随着货币的增加，边际效用呈向下凹进去的曲线。这条曲线的确切形状还有待讨论。但是边际效用递减规律的重点在于，你得到的钱越多，每额外的一美元的增长效用会相对减小。一般我们说它永远不会走低，从曲线上来说，它不会下降。你可能会觉得你有的钱越多，你越不开心，也许实际上会那样。但是我们的理论说，不，不会，你总是希望得到的更多，斜率永远是正的。但是也有可能，你拿的钱够多，效用将不再上升。

顺便提一句，最后提一次，我在讲，我在探讨财富。我在讲，如果你有一百万美元，你会做什么？我们国家有很多亿万富翁，但对于有钱人，有一点必须做的，就是慈善。他们必须给予别人物质上的帮助，是因为他们已经够丰衣足食的了。正如我说的，你只能一次开一辆车。但如果你的车库里有十辆，它实际上并不会给你带来更多的好处。当然你可以这么做，但你不能同时享受它们带来的乐趣。这非常重要，我们需要通过政策，来引导收入公平的一个原因就是这个。不是绝对的平等，是相对的平等。因为那些低收入的人群，对收入的边际效应相当的高，而高收入人群的则小得多。因此，如果从有钱人那儿把钱分给穷人，所有人都会开心。我们不能像罗宾汉那样来达到目的，但在金融领域，我们将通过系统的风险管理来实现。

我们会从有钱人那里拿走一些。你可以想象自己作为例子。你不想...你知道，你想在高收入的年份中拿出一点钱，给你自己低收入的年份。金融学理论建立在，并且很多经济学的都是建立在，人们希望能使自己对财富的期望效用最大化这一基础上。由于这是一条凹曲线，它不只是期望值。要计算你财富的预期效用，你也许还要研究预期收益曲线，或几何预期收益率，或是标准差，或研究长尾分布。我们能从很多不同的方面来切入。这一基本的理论激发了我们的研究欲望，但我们还未详细分析效应函数，这还不是完整的理论。当然，我们还会在这门课上讨论行为金融学。并且，我们会间或讨论到效用函数不总是正确的。人们希望最大化期望效用的观点，也许并不是完全准确的。但在基本原理上来说，它是核心概念。习题册中有这样一道问题，你们将如何做出决策？例如赌博。你们是注重效率呢？还是注重预期效用？这个问题有些难度，但是...尽力思考这个问题，思考下这一理论，该如何应用到赌博行为上去。我们星期五见，也就是后天。