易群

XGuo

Xiaoming Guo 郭晓明

一、序

群是是一种数学结构，末尾我们会给出其数学定义。易是《易经》，本文是关于《易经》六十四卦构成一个群结构的文章。

阴阳是两要素体系。中国古代哲学用阴阳概念组织了许多华夏文明积累的知识。阴阳概念已经是华夏文化不可分割的一部分。五行是五元素体系，金木水火土。这个体系有两种运算，相生和相克。两种运算和五个元素构成一个可以复杂运算复杂运动的体系，成为中医的哲学基础。中医如此庞大的理论体系竟然有五个元素和两个运算来支撑，那么，64个元素及其64个运算的《易经》之上建立宇宙模型理论则具备足够的理论解释能力。

河南殷墟出土的甲骨文有4000多，3千年前有4000多字，估计华夏文明发明文字的历史可以上朔到更加久远的古代。4000多字是非常完善的文字体系。这些文字用来做什么用呢？占卜。占卜是古代的运筹学，相对于今天国家宏观经济调控。古代占卜运筹，根据历史记载，不比今天经济学家预测差。《易经》64卦就是蓍草之形，就是筹签之形，运算筹签，就运筹学。

人类脱离动物，从基因本能行为变为文化行为。动物基因本能行为模式是：外部刺激－本能反应。人类文化行为模式是：外部刺激－思考－作出反应行为。其中思考基于知识，知识在于记忆积累观察。所以，记忆非常重要。记忆的模式是：外部刺激－思维运动。外部刺激包括眼睛受到光线的刺激、鼻子受到分子的刺激等感官刺激等。思维运动在于分析，比较、分类等，把感官接受到的信息转化为知识。即人类文化行为模式：“外部刺激－思考－行为”可以分为时间上不连接的两部分：前一部分是“外部刺激－思维运动”，是记忆，是知识积累。后一部分是“思维运动－行为”，是计划行为。即在没有外部刺激的情况下作出的主动行为，是意志力行为。

中国史学发达，自古重视史，史官独立，是制度化的社会记忆。所以，华夏文明延绵至今不断，和中国的史官制度不无关系。远古时期，在有文字之前，部落除了头人以外，最重要的最受尊重的老人是司仪，她唱颂古老的史诗，讲述古老的故事，延续久远的记忆，积累漫长的知识。

单靠口头文学记忆只能记忆大事件，日常琐事难以一一纪录，于是有了结绳记事。河图洛书就明显是结绳记事的图象。从口述文化进入到物理符号的结绳记事是人类文明一大进步。当记忆符号物质化以后，就可以排出序列，产生数。符号的不同摆布操作逐步演化为运算。

部落司仪于是有了更多的社会功能，她要布置许多符号，不同的庆典和红白喜事有不同的符号布置。由于对不同的事件有不同的符号布置，其反作用是符号的运营的不同决策了部落重大行为：如迁徒、战争等。原始的符号运算是占卜、原始是运筹学和决策机制是占卜。执掌占卜的职能具有部落重大事件决策的权威，她运筹符号，解释符号，给出决策。她实掌生杀予夺的占卜决策大权。

占卜是原始的计划行为：运算蓍草龟板－部落行为，今天是：运筹决策－行为。西方《圣经》充满利益纠纷，战争，屠杀，善恶等等。而《易经》只讲宇宙原理，非常超脱，其价值中性的论述，如同一本数学原理著作的风范。

周易，是华夏文化从野蛮走向文明的文化源头经典，是儒道共同推崇的群经之首。华夏文明很早就是人本文明，而西方至今在宗教文明内徘徊难以自拔，《周易》把超自然做为运筹学是根本原因：华夏文明早在五帝远古年代，早在伏羲年代，就认为人类可以控制和利用超自然，而不是被超自然控制。中西文明在远古时期就走上了不同的道理：华夏文明是人本文明，西方文明是神本文明。

《易经》为中国十三经之首。《易经》和其它十二经不同。其它十二经是文字经典，《易经》除了文字，还有卦象和数。今天，小说就都是文字，高等数学书就有文字、数字和符号。可见，《易经》和今天高等数学书有共性：文、数、象。

二、​易卦数学结构

占卜，有本卦和变卦。本卦到变卦就是一种数学运算。让我们把这些运算归纳出来。

定义一：​一个卦g在易经中有六爻组成，从下至上六个爻为分别定义为初、二、三、四、五和上爻位。每个爻位可以放两种爻之一，阴爻和阳爻。阴爻名六，阳爻名九。

例1.1：

乾卦的卦像就是｛初九、九二、九三、九四、九五、上九｝，坤卦的卦像就是｛初六、六二、六三、六四、六五、上六｝。

推理1.1：

一个卦g就是六维布尔空间中一个点（a、b、c、d、e、f）。

例1.2：

每个位可以放阳爻或阴爻。令阳爻为1，阴爻为0，则：

乾卦就是（1、1、1、1、1、1），坤卦就是（0、0、0、0、0、0）。

推理1.2：

六维布尔空间总共有64个点。这些点的集合G就是易卦空间。一个卦变f，就是G到G的一个映射，或G到G的一个函数，或定义在G空间上的一个单元素操作。

中国易学中所有卦变F组成一个G到G的映射的集合。下边让我们整理这个中国易学卦变集合的元素。

1、消息。

定义2：

将一个卦g中的某些爻变性，得到一个新卦g’，称为消息。由阳变阴谓之消，由阴变阳为之息。如蒙卦（0、1、0、0、0、1）消二息一就变成颐卦（1、0、0、0、0、1）。

对于一个卦，总存在一个消息将其变为任意指定的另一个卦。即总共应该有63个消息操作。如果我们把零消息操作加进去，即无消无息也算作一个消息操作，那么我们就有64个消息操作。这六十四个消息组成G的共轭空间F。这样，卦像空间G包涵64个卦象g（b），消息操作空间F包涵64个消息操作f（b），其中b是六维布尔空间的一个点。即对应于六维布尔空间的一个点b，我们可以有一个易卦g(b)和一个消息f（b）。例如比卦（0、0、0、0、1、0）可以代表易卦空间G中的一个卦象，也可以代表消息F中的一个消息f（5），即第5爻变性的消息操作。

G空间的元素是卦象，每个卦象有六个爻位，可以放阳爻1，也可以放阴爻0。F空间的元素的消息，每个消息也有六个爻为，可以放阳爻1，表示该爻是变爻；也可以放阴爻0，表示该爻不变。

定义3：

当一个卦象用做代表一个G到G的映射的时候，消息象中的阳爻指示本卦相应爻位上的爻为变爻，消息象中的阴爻指示本卦相应爻位上的爻为不变爻。

例3.1：履卦（1、1、0、1、1、1）用作代表消息操作的时候，就表示初、二、四、五、上为变爻，等价于消息f（12456），即第1、2、4、5、6爻变化。

例如

f（12456）泰卦（111000）＝遁卦（001111），即履卦代表消息操作的时候，把本卦泰卦变为变卦遁卦。

消息在占卜中有普遍的应用。占卦是占得本卦和变爻，则变爻改变爻性得到变卦，这就是消息操作。乾卦对应于f（123456），即六爻皆变。坤卦对应于零消息f（0），即不变，或没有占得变爻。即乾卦对应于极大的消息，坤卦对应于极小的消息。乾卦至动，坤卦至静。

定理1：

任何一个消息作用两次等于零消息。

如f（5）将第5爻变性，消息第5爻，变性一次以后，得到新卦，用f（5）对新卦再操作一次，则返回本卦。定理1表达为f（b）f（b）＝f（0）。即重复使用一个卦对应的消息操作等于坤卦对应的消息操作，即零操作。

推理1.1：在消息空间中，乾乾为坤；其中乾和坤不是卦象，而是消息象。

推理1.2：在消息空间中，所有卦的平方都是坤。即乾乾为坤，但坤坤还是坤。坤主聚，如大海纳百川。注意，这里说的是消息空间，是操作符空间，有别于易卦象空间。消息空间中消息象中阳爻指示变爻的爻位，而阴爻指示不变的爻位。

传统习惯是对一事只能占卦一次，再占就不灵了。不能占到自己不喜欢的卦就不要，重新再占一次。我以为这种传统和定理一并没有必然关联，传统是对占卦人的权威的尊重和对所得卦神机的敬重。

2、旁通。旁通就是将一个卦的所有爻都变性卦变为新卦。如乾卦的傍通就是坤卦。需卦（1、1、1、0、1、0）旁通就变为晋卦（0、0、0、1、0、1）。旁通是消息的一个特例，就是乾卦代表的消息操作。

3、往来。往来就是两个不同爻位上的爻交换。如屯卦（1、0、0、0、1、0）二五往来就卦变为临卦（1、1、0、0、0、0）。往来操作共有5+4+3+2+1＝15个。对于这15个往来操作中的7个屯卦变回自身，或者说，对于其中7个往来操作，屯卦是不动点。

定理2：任何一个往来操作w（ij），把易卦象空间G分为这样两个子卦象空间：i爻位与j爻位爻性相同的卦组成子卦象空间E（ij），i爻位与j爻位的爻性不同的卦组成的子卦象空间M（ij）。w（ij）作用于E（ij）空间里的卦相当于零消息f（0）操作，w（ij）作用于M（ij）里的卦象相当于f（ij）操作。如二五往来w（25）对于E（25）空间等于坤消息，对于M（25）等于坎消息。E（ij）有32个卦象，M（ij）也有32个卦象，E（ij）+M（ij）＝G。M（ij）空间又分为16对卦象，每对卦象在往来w(ij)作用下相互转换，你变成我，我变成你。

4、内八卦组合。

定义4：八卦是三维布尔空间B（3）的点。

八卦为坤（0、0、0），震（1、0、0），坎（0、1、0），兑（1、1、0），艮（0、0、1），离（1、0、1），巽（0、1、1），乾（1、1、1）。

定义5：每个易卦可以生成四个内八卦：（初、二、三），（二、三、四），（三、四、五），（四、五、六）。其中（初、二、三）和（四、五六）称为上下卦，（二、三、四）和（三、四、五）称为互体卦。

例5.1:小畜卦（1、1、1、0、1、1）生成内八卦乾（1、1、1），兑（1、1、0），离（1、0、1），巽（0、1、1）。其中乾和巽是易卦小畜的上下卦，兑和离是易卦小畜的互体卦。

定义6：把两个八卦上下相迭而构成一个易卦，记作B（3）X B(3)＝G。即易卦空间是两个八卦空间的直积。

定义7：用本卦生成的四个内八卦相迭而构成的变卦定义为内八卦组合操作。

共有12个内八卦组合卦变操作。

例7.1：

否卦（0、0、0、1、1、1）有四个内八卦坤、乾、艮、巽。

内组合乾上坤下为本卦，是内八卦组合中的不变操作。

内组合坤上乾下为泰卦，本卦否变为变卦泰就是把上下八卦相互易位，这个操作在传统中称为“上下象易”。

互体八卦的内组合：艮上巽下得变卦蛊，巽上艮下得变卦渐。传统称为互体卦变。

互体卦和上下卦的内组合艮上坤下、巽上坤下、艮上乾下、巽上乾下、以及这四个变卦的上下易象，传统称为“连互”卦变。

5、反对。倒转就是把一个卦反过来看，这个新卦称为原卦的复卦。如讼卦（0、1、0、1、1、1）反对成为需卦（1、1、1、0、1、0）。

无论是内八卦组合还是反对，对于某特点的易卦，都对应于某个消息操作。如讼卦反对成需卦，对应的消息是f（1346），即初、三、四、上爻消息。反之，如果占得本卦和变爻得到的变卦刚好是某个反对操作、或者内组合操作、或者上下易象操作，或者往来操作，那么，这个变卦就揭示了本卦的什么特性在这个变卦中起来作用，这有点像“性格决定命运”。即同样的环境和外部条件，同样的消息，本卦不同，结果大不一样。在同样的消息操作下，某些易卦是一成不变，某些易卦变为反对，某些卦变为往来，某些卦变回互体等等。

64个消息操作F是完备的卦变操作集合，其它卦变操作等价于某个消息操作，是否等价以及等价于那类卦变操作是由本卦的结构决定的，因而揭示了卦象的某些特征。

三、易群

定义8：

现在，我们在G空间上定义一个乘法

g(i)·g(j) = g(k)

这个乘法的定义为前边左边一个卦g(i)作用于右边一个卦g(j)得到一个新卦g(k)。对应于上文，这里的g(j)就是本卦，g(k)就是变卦。g(i)就是这个变化对应的操作，在上文中，我们说g(i)在F空间，这是多余的，g(i)完全可以就是G空间的一个元素，它作用于g(j)就是如定义3那样，g(i)卦中的阳爻改变g(j)中间对应爻位的爻性而得出g(k)，这就是乘法的定义。

显然这个定义满足群的定义。

1）G内两个元素的乘积还是G内的一个元素。

2）满足结合律 ｛g(i)·g(j)}·g(k) = g(i)·{g(j)·g(k)}

3）存在单位元素。坤卦g(0)就是单位元素，满足 g(0)·g(i)＝g(i).

4）G内任何一个元素都有逆元素。根据定理一，每个元素都是自身的逆元素

g(i) = 1/g(i)    ;            g(i)·g(i) = g(0)

1）到4）就是数学中群的定义。64卦按照定义8定义的乘法就构成了一个群。这个群就是易群。